Τετάρτη, 4 Ιουλίου 2012

Πυθαγόρειο Θεώρημα - Το πρώτο μεγάλο θεώρημα

 Howard Eves «ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» εκδόσεις ΤΡΟΧΑΛΙΑ

 

Το πρώτο μεγάλο θεώρημα

 

Ένα από τα πιο συναρπαστικά και ασφαλώς πιο φημισμένα και χρήσιμα θεωρήματα της στοιχειώδους γεωμετρίας είναι το λεγόμενο πυθαγόρειο θεώρημα, που λέει ότι «σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών». Αν υπάρχει ένα θεώρημα του οποίου η γέννηση δικαιούται να θεωρηθεί μια μεγάλη στιγμή στα μαθηματικά, τότε το πυθαγόρειο θεώρημα είναι το πιο κατάλληλο, γιατί είναι ίσως το πρώτο πραγματικά μεγάλο θεώρημα των μαθηματικών. Όταν όμως αρχίζουμε να εξετάζουμε την προέλευση του θεωρήματος, τότε είναι σαν να ψάχνουμε σε θολά νερά. Αν και η παράδοση έχει αποδώσει το περίφημο θεώρημα στον Πυθαγόρα, η εξέταση πήλινων πινάκων με σφηνοειδή γραφή, που βρέθηκαν στην Μεσοποταμία τον 20ό αιώνα, αποκαλύπτει ότι οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι που έζησαν πάνω από χίλια χρόνια πριν τον Πυθαγόρα, γνώριζαν το θεώρημα. Το θεώρημα γνώριζαν επίσης οι αρχαίοι Ινδοί και Κινέζοι της εποχής του Πυθαγόρα ή και νωρίτερα, όπως αποδεικνύεται από σχετικές εργασίες τους. Αυτές οι μη ελληνικές και πιθανόν προελληνικές αναφορές στο θεώρημα δεν περιέχουν όμως αποδείξεις του, και ίσως είναι αλήθεια ότι ο Πυθαγόρας ή κάποιο μέλος της διάσημης αδελφότητας του ήταν ο πρώτος που έδωσε μια λογική απόδειξη στο θεώρημα. Ας σταματήσουμε όμως λίγο να πούμε λίγα λόγια για το Πυθαγόρα και τη σχεδόν μυστικιστική αδελφότητα του. Ο Πυθαγόρας είναι το δεύτερο πρόσωπο που αναφέρεται με το όνομα του στην ιστορία των μαθηματικών.
Κοιτάζοντας μέσα από τη μυθική ομίχλη του παρελθόντος μαθαίνουμε πως ο Πυθαγόρας γεννήθηκε σε ένα νησί του Αιγαίου, τη Σάμο, γύρω στα 572 π.Χ., όχι μακριά από τη Μίλητο, την πατρίδα του Θαλή. Καθώς μάλιστα ήταν περίπου πενήντα χρόνια νεότερος από το Θαλή και ζούσε τόσο κοντά του, ίσως ο Πυθαγόρας να ήταν μαθητής του. Σε κάθε περίπτωση ο Πυθαγόρας, όπως και ο Θαλής, φαίνεται πως έχει μείνει για ένα διάστημα στην Αίγυπτο και έχει ταξιδέψει και σε πιο μακρινούς τόπους, πιθανόν και μέχρι την Ινδία. Γυρνώντας στην πατρίδα του μετά από δυο χρόνια περιπλάνησης, βρίσκει τη Σάμο κάτω από την τυραννία του Πολυκράτη και τις περισσότερες περιοχές της Ιωνίας κάτω από περσική κυριαρχία. Έτσι μεταναστεύει στο ελληνικό λιμάνι του Κρότωνα που βρίσκεται στην μπότα της νότιας Ιταλίας. Εκεί ιδρύει την περίφημη πυθαγόρεια σχολή που, εκτός από ακαδημία για τη μελέτη της φιλοσοφίας, των μαθηματικών και της φυσικής επιστήμης, εξελίχθηκε σε μια στενά συνδεδεμένη αδελφότητα με μυστικούς κανόνες και ιεροτελεστίες. Με τον καιρό η πολιτική ισχύς και οι αριστοκρατικές τάσεις της αδελφότητας δυνάμωσαν τόσο, που οι δημοκρατικές δυνάμεις της νότιας Ιταλίας κατέστρεψαν τα κτίρια της σχολής και τους ανάγκασαν να διασκορπιστούν. Σύμφωνα με τις φήμες, ο Πυθαγόρας κατέφυγε στον Μεταπόντιο όπου πέθανε, δολοφονημένος ίσως από τους διώκτες του, στην προχωρημένη ηλικία των 75 ή των 80 ετών. Η αδελφότητα αν και διασκορπισμένη συνέχισε να υπάρχει για δυο τουλάχιστον αιώνες ακόμα.
Η πυθαγόρεια φιλοσοφία, που μυρίζει ινδική προέλευση, στηριζόταν στην υπόθεση ότι οι ακέραιοι αριθμοί είναι η αιτία των διάφορων ποιοτήτων του ανθρώπου και της ύλης· με λίγα λόγια οι ακέραιοι αριθμοί ρυθμίζουν το Σύμπαν και ποιοτικά και ποσοτικά. Αυτή η έννοια και η εξύψωση των ακέραιων αριθμών οδήγησε στη βαθιά μελέτη τους· γιατί ποιος ξέρει, αποκαλύπτοντας τις εσωτερικές τους ιδιότητες, ίσως μπορούσαν σε κάποιο βαθμό να καθορίσουν ή να βελτιώσουν το πεπρωμένο τους. Έτσι οι αριθμοί αλλά και η γεωμετρία, εξαιτίας της στενής σχέσης της μ' αυτούς, αποτελούσαν διαρκώς αντικείμενο μελέτης. Επειδή η διδασκαλία του Πυθαγόρα ήταν αποκλειστικά προφορική και επειδή στην αδελφότητα υπάρχει η συνήθεια να αποδίδονται όλες οι ανακαλύψεις στο σεβαστό ιδρυτή, είναι σήμερα δύσκολο να ξέρουμε ποιες ακριβώς μαθηματικές ανακαλύψεις πρέπει να αποδοθούν στον ίδιο τον Πυθαγόρα και ποιες στα άλλα μέλη της αδελφότητας.
Επιστρέφοντας στη μεγάλη στιγμή των μαθηματικών που εξετάζουμε είναι φυσικό να αναρωτηθούμε σχετικά με τη φύση της απόδειξης που έδωσε ο Πυθαγόρας στο μεγάλο θεώρημα που πήρε το όνομα του. Έχουν διατυπωθεί πολλές απόψεις πάνω στο θέμα αυτό και επικρατεί γενικά η πεποίθηση ότι πρόκειται για απόδειξη με τη μέθοδο της διαμέρισης, όπως η παρακάτω. Έστω α, β, γ οι κάθετες και η υποτείνουσα του δεδομένου ορθογώνιου τριγώνου και έστω τα δυο τετράγωνα του σχήματος 3, καθένα από τα οποία έχει πλευρά α+β. Το πρώτο τετράγωνο διαμερίζεται σε έξι κομμάτια τα δυο τετράγωνα πάνω στις καθέτους και τα τέσσερα τρίγωνα που είναι ίσα με το δεδομένο. Το δεύτερο τετράγωνο διαμερίζεται σε πέντε κομμάτια το τετράγωνο πάνω στην υποτείνουσα και πάλι τέσσερα τρίγωνα ίσα με το δεδομένο. Αφαιρώντας ίσα από ίσα συνεπάγεται στην περίπτωση μας ότι το τετράγωνο στην πάνω υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων πάνω στις καθέτους.
Για να αποδείξουμε ότι το κεντρικό κομμάτι στο δεύτερο σχήμα είναι πράγματι τετράγωνο πλευράς γ, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι το άθροισμα των γωνιών ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με δυο ορθές γωνίες. Αλλά και το γεγονός αυτό για τυχαίο τρίγωνο έχει αποδοθεί επίσης στους πυθαγόρειους. Επειδή η απόδειξη αυτού του γενικού νόμου απαιτεί με τη σειρά της γνώσεις πάνω στις ιδιότητες των παραλλήλων, γι' αυτό και η ανάπτυξη αυτής της θεωρίας αποδίδεται στους αρχαίους πυθαγόρειους.
Κανένα ίσως θεώρημα των μαθηματικών δεν έχει δεχτεί τόσες διαφορετικές αποδείξεις όσες το πυθαγόρειο θεώρημα. Η Ε.Σ. Λούμις (Ε.S. Loomis) στη δεύτερη έκδοση του βιβλίου της η Πυθαγόρεία Πρόταση [1] έχει συγκεντρώσει και ταξινομήσει 370 αποδείξεις για το περίφημο αυτό θεώρημα.



Δύο εμβαδά ή δύο όγκοι Π και Ρ λέγονται ίσοι ως προς πρόσθεση αν μπορούν να διαμεριστούν σε αντίστοιχα ζεύγη ίσων κομματιών. Λέγονται δε ίσοι ως προς αφαίρεση αν στα Π και Ρ μπορούμε να ενώσουμε αντίστοιχα ζεύγη ίσων κομματιών και να πάρουμε δυο νέα σχήματα που να είναι ίσα ως προς πρόσθεση. Υπάρχουν πολλές αποδείξεις του πυθαγόρειου θεωρήματος που καταλήγουν αποδεικνύοντας ότι το τετράγωνο πάνω στην υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο ως προς πρόσθεση ή αφαίρεση με τα δύο τετράγωνα που βρίσκονται πάνω στις καθέτους του ορθογώνιου τριγώνου. Η απόδειξη που δώσαμε παραπάνω και που πιθανόν οφείλεται στον Πυθαγόρα είναι απόδειξη ισότητας ως προς αφαίρεση.
Τα σχήματα 4 και 5 απεικονίζουν δυο αποδείξεις ισότητας ως προς πρόσθεση που δόθηκαν από τον Πέριγκαλ (Η. Ρerigal) στα 1873[2] και τον Ντουντένεϋ (Η.Ε. Dudeney) στα 1917, αντίστοιχα.

Στο σχήμα 6 απεικονίζεται μια απόδειξη ισότητας ως προς αφαίρεση που λέγεται ότι οφείλεται στον Λεονάρντο ντα Βίτσι (1452-1519).
Είναι ενδιαφέρον ότι τα εμβαδά δύο ίσων πολυγώνων είναι ίσα ως προς πρόσθεση και η διαμέριση μπορεί πάντα να γίνεται με διαβήτη και κανόνα. Από την άλλη, ο Μαξ Ντεν (Max Dehn) στα 1901 απέδειξε ότι δυο πολύεδρα που έχουν ίσους όγκους δεν έχουν απαραίτητα ίσους όγκους ως προς πρόσθεση ή αφαίρεση. Συγκεκριμένα, είναι αδύνατο να διαμερίσουμε ένα κανονικό τετράεδρο σε πολυεδρικά μέρη που αν τα συγκεντρώσουμε να σχηματίσουμε έναν κύβο. Ο Ευκλείδης στα Στοιχεία του (περίπου 300 π.Χ.) χρησιμοποιεί συνήθως μεθόδους διαμέρισης για να αποδείξει ισότητα εμβαδών.
Η κομψή απόδειξη που έδωσε ο Ευκλείδης για το πυθαγόρειο θεώρημα στην Πρόταση 47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του, στηρίζεται στο σχήμα 7, το οποίο μερικές φορές αναφέρεται ως κουκούλα του Φραγκισκανού ή καρέκλα της νύφης. Μια περίληψη της απόδειξης έχει ως εξής:

(ΑΓ)2 = 2(ΙΑΒ) = 2(ΓΑΔ) == (ΑΔΚΛ). Ομοίως (ΒΓ)2 = (ΒΕΚΛ).
Συνεπώς (ΑΓ)2 + (ΒΓ)2 = (ΑΔΚΛ) + (ΒΕΚΛ) = (ΑΒ)2.

Οι καθηγητές της μέσης εκπαίδευσης δείχνουν πολλές φορές στους μαθητές τους την περίεργη απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήματος που δόθηκε από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Μπάσκαρα, που διέπρεψε γύρω στα 1150. Είναι μια απόδειξη διαμέρισης κατά την οποία το τετράγωνο πάνω στην υποτείνουσα διαμερίζεται, όπως δείχνει το σχήμα 8, σε τέσσερα τρίγωνα, καθένα από τα οποία είναι ίσο με το δεδομένο ορθογώνιο τρίγωνο, και σε ένα τετράγωνο πλευράς ίσης με τη διαφορά των καθέτων του δεδομένου τριγώνου. Τα κομμάτια αυτά αναδιατάσσονται εύκολα για να μας δώσουν το άθροισμα των τετραγώνων πάνω στις δύο καθέτους. Ο Μπάσκαρα σχεδίασε το σχήμα και η μόνη επεξήγηση που έδωσε ήταν η λέξη «ιδού!». Με λίγη άλγεβρα παίρνουμε ασφαλώς την απόδειξη, διότι αν γ είναι η υποτείνουσα και α και β οι κάθετες πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου, τότε:

 γ2 = 4(αβ/2) + (β-α)2 = α22.

Ίσως μια καλύτερη απόδειξη «ιδού!» του πυθαγόρειου θεωρήματος να ήταν μια δυναμική απόδειξη σε μια κινηματογραφική ταινία, όπου το τετράγωνο πάνω στην υποτείνουσα να μετασχηματίζεται με συνεχή τρόπο στο άθροισμα των τετραγώνων πάνω στις καθέτους περνώντας από τα στάδια που φαίνονται στο σχήμα 9.

Ο Μπάσκαρα έδωσε επίσης μια δεύτερη απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήματος φέρνοντας το ύψος πάνω στην υποτείνουσα. Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα στο σχήμα 10 έχουμε:

γ/β = β/μ και γ/α = α/ν

ή  γμ = β2 και γν = α2 .


Προσθέτοντας, παίρνουμε:

α22 = γ(μ+ν) = γ2.

Η ίδια αυτή απόδειξη δόθηκε πάλι από τον Άγγλο μαθηματικό Τζ. Γουόλις (John Wallis, 1616-1703) τον 17ο αιώνα.
Κάποιοι από τους προέδρους των ΗΠΑ έχουν κατά κάποιον τρόπο συνδεθεί με τα μαθηματικά. Ο Τζόρτζ Ουάσιγκτον ήταν διακεκριμένος τοπογράφος, ο Τόμας Τζέφφερσον έκανε ό,τι μπορούσε να ενθαρρύνει τη διδασκαλία ανώτερων μαθηματικών στις ΗΠΑ και ο Αβραάμ Λίνκολν λέγεται ότι έμαθε λογική μελετώντας τα Στοιχεί
α του Ευκλείδη. Περισσότερο δημιουργικός ήταν ο Τζ. Γκάρφιλντ (James Abram Garfield, 1831-1881) ο εικοστός πρόεδρος των ΗΠΑ, ο οποίος σαν σπουδαστής ανέπτυξε έντονο ενδιαφέρον και δραστηριότητα στα στοιχειώδη μαθηματικά. Στα 1876 και ενώ ήταν μέλος της Βουλής των Αντιπροσώπων, πέντε μόλις χρόνια πριν γίνει πρόεδρος των ΗΠΑ, έδωσε μόνος του μια πολύ ωραία απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήματος. Την απόδειξη αυτή τη σκέφτηκε σε μια μαθηματική συζήτηση με άλλα μέλη του Κογκρέσου1 η απόδειξη δημοσιεύτηκε στη συνέχεια στο New England Journal of Education. Στη γεωμετρία της μέσης εκπαίδευσης οι μαθητές εν διαφέρονται πάντα να γνωρίσουν την απόδειξη του πυθαγορείου θεωρήματος αμέσως μετά τον τύπο που δίνει το εμβαδόν τραπεζίου.
  


 











Η απόδειξη στηρίζεται στον υπολογισμό του εμβαδού του τραπεζίου του σχήματος 11 με δυο διαφορετικούς τρόπους από τη μια με τον τύπο του εμβαδού του τραπεζίου (ως το γινόμενο του ημιαθροίσματος των παράλληλων πλευρών επί την απόσταση τους), και από την άλλη ως το άθροισμα των τριών ορθογωνίων τριγώνων στα οποία διαμερίζεται το τραπέζιο. Εξισώνοντας τις δυο αυτές εκφράσεις για το εμβαδόν του τραπεζίου, βρίσκουμε ότι (βλ. σχήμα 11)

(α+β) (α+β)/2 = 2[(αβ)/2] + γ2/2

ή  α2+2αβ + β2 = 2αβ+γ2,

οπότε   α22 = γ2 .

Αφού λοιπόν για κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με καθέτους α και β και υποτείνουσα γ υπάρχει ένα τραπέζιο όπως φαίνεται στο σχήμα, το πυθαγόρειο θεώρημα έχει αποδειχτεί.
Το πυθαγόρειο θεώρημα, όπως και πολλά άλλα μεγάλα θεωρήματα, έχει δεχτεί πολυάριθμες προεκτάσεις. Ακόμα και στην εποχή του Ευκλείδη ήταν γνωστές ορισμένες γενικεύσεις του. Η Πρόταση 31, για παράδειγμα, του Βιβλίου VI των Στοιχείων λέει: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το εμβαδόν σχήματος που σχεδιάζεται πάνω στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών όμοιων σχημάτων που σχεδιάζονται με όμοιο τρόπο πάνω στις δύο κάθετες πλευρές. Αυτή η γενίκευση απλά αντικαθιστά τα τρία τετράγωνα πάνω στις τρεις πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου με τρία όμοια και όμοια σχεδιασμένα σχήματα. Μια πιο αξιόλογη γενίκευση προκύπτει από τις Προτάσεις 12 και 13 του Βιβλίου II. Μια. συνδυασμένη και κάπως εκσυγχρονισμένη διατύπωση των δυο αυτών προτάσεων είναι η ακόλουθη: Σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία (οξεία) γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δυο πλευρών αυξημένο (μειωμένο) κατά το διπλάσιο του γινομένου της μιας πλευράς επί την προβολή της άλλης πάνω στην πρώτη. Δηλαδή, σύμφωνα με το συμβολισμό του σχήματος 12,

(ΑΒ)2 = (ΒΓ)2 + (ΓΑ)2 ± 2(ΒΓ) · (ΔΓ),

όπου βάζουμε συν ή πλην αν η γωνία Γ του τριγώνου ΑΒΓ είναι αμβλεία ή οξεία αντίστοιχα. Αν θεωρήσουμε προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα, τότε μπορούμε να συνδέσουμε τις Προτάσεις 12 και, 13 του Βιβλίου II με την Πρόταση 47 του Βιβλίου Ι (το πυθαγόρειο θεώρημα) στην παρακάτω πρόταση: Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ, το Δ είναι το ίχνος του ύφους πάνω στην πλευρά ΒΓ, τότε:

 (AB)2 = (ΒΓ)2 + (ΓΑ)2 - 2(ΒΓ) · (ΔΓ)


Επειδή (ΔΓ) = (ΓΑ) · συν ΒΓΑ, συνεπάγεται, ότι. η τελευταία πρόταση είναι ο λεγόμενος νόμος των συνημίτονων, που αποτελεί πράγματι μια θαυμάσια γενίκευση του πυθαγορείου θεωρήματος.
Αλλά η πιο αξιοσημείωτη ίσως προέκταση του πυθαγόρειου θεωρήματος που έρχεται πάλι από τις μέρες της ελληνικής αρχαιότητας είναι, αυτή που δόθηκε από τον Πάππο από την Αλεξάνδρεια (περίπου 300 π.Χ.) στην αρχή του Βιβλίου Ι της Μαθηματικής Συναγωγής του. Η επέκταση του πυθαγορείου θεωρήματος σύμφωνα με τον Πάππο είναι η εξής (βλ. σχήμα 13): Έστω ΑΒΓ ένα τυχαίο τρίγωνο και ΓΑΔΕ, ΓΒΖΗ παραλληλόγραμμα που περιγράφονται εξωτερικά στις πλευρές ΓΑ και ΓΕ. Έστω ότι οι ΔΕ και ΖΗ τέμνονται στο Θ. Φέρνουμε τις AM και ΒΡ παράλληλες και ίσες προς τη ΘΓ. Τότε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΡΜ είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των παραλληλογράμμων ΓΑΔΕ και ΓΒΖΗ. Η απόδειξη είναι εύκολη γιατί έχουμε ΓΑΔΕ = ΓΑΚΘ = ΝΜΑΛ και ΓΒΖΗ - ΓΒΙΘ = ΝΡΒΛ. Οπότε ΓΑΔΕ + ΓΒΖΗ = ΝΜΑΛ + ΝΡΒΛ - ΑΒΡΜ. Πρέπει να σημειώσουμε ότι το πυθαγόρειο θεώρημα έχει γενικευτεί προς δύο κατευθύνσεις, αφού το ορθογώνιο τρίγωνο του πυθαγόρειου θεωρήματος έχει αντικατασταθεί από τυχαίο τρίγωνο και τα τετράγωνα στις καθέτους έχουν αντικατασταθεί από τυχαία παραλληλόγραμμα.
Ο μαθητής της Μέσης εκπαίδευσης δύσκολα θα μείνει αδιάφορος στην επέκταση του πυθαγόρειου θεωρήματος από τον Πάππο και η απόδειξη της θα αποτελέσει, γι' αυτόν μια θαυμάσια άσκηση. Οι πιο ικανοί μαθητές ίσως ενδιαφερθούν να προσπαθήσουν μόνοι τους να αποδείξουν την παραπέρα επέκταση (στον τρισδιάστατο χώρο) της προέκτασης του Πάππου: Έστω ΑΒΓΔ (βλ. σχήμα 14) ένα τυχαίο τετράεδρο και ΑΒΔ-ΕΖΗ, ΒΓΔ-ΘΙΤ, ΓΑΔ-ΚΑΜ τρία τυχαία τριγωνικά πρίσματα πού περιγράφονται εξωτερικά στις έδρες ΑΒΑ, ΒΓΔ, ΓΑΔ, του ΑΒΓΔ. Έστω Σ το σημείο τομής των επίπεδων ΕΖΗ, ΘΙΤ, ΚΑΜ και έστω ΑΒΓ-ΝΟΡ το τριγωνικο πρίσμα του οποίου οι ακμές ΑΝ, ΒΟ, ΓΡ προκύπτουν με παράλληλη μετατόπιση του διανύσματος ΣΔ. Τότε ο όγκος του ΑΒΓ-ΝΟΡ είναι ίσος με το άθροισμα των όγκων των ΑΒΔ-ΕΖΗ, ΒΓΔ-ΘΙΤ καί ΓΑΑ-ΚΑΜ. Η απόδειξη είναι ανάλογη με αυτή που δώσαμε παραπάνω για την επέκταση του Πάππου.
Δίνουμε τέλος, χωρίς απόδειξη, ένα ανάλογο του πυθαγορείου θεωρήματος στον τρισδιάστατο χώρο, που συχνά αναφέρεται, σαν θεώρημα του ντε Γκουά (De Gya)[4]. Ας ξεκινήσουμε με μερικούς ορισμούς. Ένα τετράεδρο που έχει μια τριεδρική γωνία, της οποίας οι γωνίες όλων των εδρών είναι, ορθές λέγεται τρισορθογώνιο τετράεδρο και, η τριεδρική γωνία λέγεται ορθή γωνία του τετραέδρου. Η έδρα που βρίσκεται, απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται βάση του τετραέδρου. Το θεώρημα του ντε Γκουά μπορεί τώρα να διατυπωθεί ως εξής: Το τετράγωνο του εμβαδού της βάσης ενός τρισορθογώνιου τετραέ8ρου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των εμβαδών των άλλων τριών εδρών του. Αφήνουμε την απόδειξη στους τολμηρούς αναγνώστες.
Καθώς το ενδιαφέρον για την εξερεύνηση του Διαστήματος και η πιθανότητα να υπάρχει ζωή και σε άλλα μέρη του αυξάνονται, εμφανίζονται, από καιρό σε καιρό προτάσεις για την κατασκευή στη Γη μιας τεράστιας συσκευής που να δείχνει στους πιθανούς εξωτερικούς παρατηρητές ότι στον πλανήτη μας υπάρχει νόηση. Η πιο κατάλληλη συσκευή φαίνεται, να είναι μια συσκευή μαμουθ τοποθετημένη στην έρημο Σαχάρα, στις στέπες της Ρωσίας ή σε κάποια άλλη αχανή περιοχή, που να επεξηγεί το πυθαγόρειο θεώρημα. Όλα τα νοήμονα όντα πρέπει, να γνωρίζουν το αξιόλογο και ασφαλώς όχι κοινότοπο αυτό θεώρημα της ευκλείδειας γεωμετρίας και φαίνεται πράγματιδύσκολο να σκεφτούμε καλύτερη συσκευή γι' αυτόν τον σκοπό.



Στα 1971, η Νικαράγουα κυκλοφόρησε μια σειρά γραμματοσήμων αφιερωμένη στους ( δέκα πιο σημαντικούς μαθηματικούς τύπους» του κόσμου. Κάθε γραμματόσημο εικονίζει ένα συγκεκριμένο τύπο μαζί με κατάλληλη εικονογράφηση και στην άλλη του όψη υπάρχει μια μικρή πρόταση στα ισπανικά που αναφέρεται στη σπουδαιότητα του τύπου. Ένα από τα γραμματόσημα της σειράς αφιερώνεται στον πυθαγόρειο τύπο: α22 = γ2. Πρέπει να είναι πολύ ευχάριστο για τους επιστήμονες και τους μαθηματικούς να βλέπουναυτούς τους τύπους να απολαμβάνουν τέτοια εκτίμηση, φού αυτοί οι τύποι έχουν ασφαλώς προσφέρει περισσότερα στην ανάπτυξη του ανθρώπου από ό,τι πολλοί βασιλιάδες και στρατηγοί που εικονίζονται συνήθως στα γραμματόσημα.

  

Ασκήσεις


4.1 Αποδείξτε ότι δυο παραλληλόγραμμα που έχουν κοινή βάση και ίσα ύψη έχουν ίσα εμβαδά, αποδεικνύοντας ότι είναι ίσα ως προς πρόσθεση ή αφαίρεση. (Αυτή είναι η μέθοδος που χρησιμοποίησε ο Ευκλείδης στην Πρόταση 35 του βιβλίου Ι των Στοιχείων του).
4.2 Επειδή δεν υπάρχουν σοβαρές ενδείξεις ότι οι Αιγύπτιοι γνώριζαν έστω και ειδική περίπτωση του πυθαγόρειου θεωρήματος, προκύπτει το πιο κάτω καθαρά ακαδημαϊκό πρόβλημα: Αποδείξτε, χωρίς να χρησιμοποιήσετε το πυθαγόρειο θεώρημα, ούτε το αντίστροφο του ούτε καμία από τις συνέπειες του, ότι το τρίγωνο 3-4-5 είναι ορθογώνιο. Λύσετε αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας το σχήμα 15, που υπάρχει στο Τσουπέι, το πιο παλιό κινέζικο μαθηματικό έργο, που τοποθετείται ίσως στη δεύτερη χιλιετηρίδα π.Χ.

 4.3 Αποδείξτε την παρακάτω γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος που διατυπώθηκε από τον Τάμπιτ Ιμπν Κουόρρα: Αν ΑΒΓ είναι ένα τυχαίο τρίγωνο και αν Β' και Γ' είναι σημεία πάνω·στη ΒΓ τέτοια ώστε γωνΑΒ'Β = γων ΑΓ'Γ = γωνΑ, τότε (ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 = ΒΓ(ΒΒ'+ΓΓ').
Αποδείξτε ότι όταν η γωνΑ είναι ορθή τότε το θεώρημα αυτό είναι το πυθαγόρειο θεώρημα.
4.4 Ποια είναι η πυθαγόρειοι σχέση για ένα ορθό σφαιρικό τρίγωνο με καθέτους α, β και υποτείνουσα γ, όπου α, β και γ είναιγωνιακές μετρήσεις;
4.5 Διατυπώστε και αποδείξτε το αντίστροφο του πυθαγόρειου θεωρήματος. (Αυτή είναι η πρόταση 48, η τελευταία πρόταση του Βιβλίου 1 των Στοιχείων του Ευκλείδη).

[4] Τό θεώρημα πήρε το όνομα του από τον J.P. de Gua de Malves (1712-1785), ο οποίος παρουσίασε την πρόταση στην Ακαδημία Επιστημών στο Παρίσι στα 1783. Τό θεώρημα όμως ήταν γνωστό στον Καρτέσιο (1596-1650) και στο σύγχρονο του Φαλχάμπερ (J. Fauehaber, 1580-1653). Πρόκειται για μια ειδική περίπτωση ενός πιο γενικού θεωρήματος που ο Τινσό (Tinseau) είχε παρουσιάσει στην Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού στα 1774. 


ΛΥΣΕΙΣ
4.1 Βλ. σχήμα 67.
4.2 Τα τέσσερ
α, ορθογώνια τρίγωνα που έχουν καθέτους με μήκη3 και 4, μαζί με το μικρό μονα8ιαίο τετράγωνο, σχηματιζόμένα τετράγωνο εμβαδού 25. Συνεπώς, η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου με καθέτους 3 και 4, έχει μήκος 5.
Επειδή ένα τρίγωνο προσδιορίζεται από τις τρεις πλευρές του, συνεπάγεται ότι το τρίγωνο 3-4-5 είναι ορθογώνιο.
4.3 Ο κύκλος ΑΒ'Γ εφάπτεται στο ΑΒ, στο σημείο Α. Ο κύκλοςΑΓ'Β εφάπτεται στο ΑΓ, στο σημείο Α. Συνεπώς, (ΑΒ)2 =(ΒΓ)-(ΒΒ'), (ΑΓ)2 = (ΒΓ)-(ΓΓ') κ.τ.λ. Όταν γωνΑ = 90°, ταΒ' και Γ' συμπίπτουν με το ίχνος του ύφους από το Α.
4.4 συνγ = συνα · συν/3.
4.5 Σε ένα τρίγωνο με πλευρές α, β, γ, αν α +β =γ , τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά γ.
Έστω δ η υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου με καθέτους α και β. Τότε δ2222, οπότε δ = γ. Συνεπώς το δεδομένο τρίγωνο είναι όμοιο με το ορθογώνιο τρίγωνο
Σχετική Βιβλιογραφία
1.       Boltyvanskii. Equivalent and Equidecomposable-Figures, μετάφρ. Α.Κ.Henn και C.E. Watts. Boston: D.C. Heath, 1963.
2.       Heath T.L. History of Greek Mathematics, 2 τομ. New York: OxfordUniversity Press, 1931.
3.       Loomis E.S. The Pythagorean Proposition, 2η εκδ. Ann Arbor, Mich.:ιδιωτική έκδοση, Edwards Brothers, 1940.

Δεν υπάρχουν σχόλια: