Κυριακή, 6 Νοεμβρίου 2011

Περὶ τῆς θεωρίας τῶν συνόλων παρὰ Πλάτωνι, ὑπὸ Εὐαγγ. Σταμάτη.

ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΑΘΗΝΩΝ

ΕΤΟΣ 1958: ΤΟΜΟΣ 33ος

Α'. Ὁ Γεώργιος Κάντορ εἰς τὴν πραγματείαν αὐτοῦ Ἀρχαὶ μίας γενικῆς θεωρίας τῶν συνόλων, σέλ. 43, Λειψία 1883 (Grundlagen einer allgemeinen Mannich- faltigkeitslehre) γράφει τὰ ἑξῆς : Θεωρῶ ποικιλίαν ἢ σύνολον πᾶν πλῆθος, τὸ ὅποιον νοεῖται ὡς ἐν, δήλ. πᾶσαν συμπερίληψιν καθωρισμένων στοιχείων, τὰ ὅποια δυνάμει ἑνὸς νόμου δύνανται νὰ συνδεθῶσιν εἰς ἐν σύνολον καὶ πιστεύω ὅτι διὰ τούτου ὁρίζω τί, τὸ ὅποιον εἶναι συγγενὲς πρὸς τὸ Πλατωνικὸν εἶδος ἢ ἰδέαν, ὡς ἐπίσης καὶ πρὸς ἐκεῖνο, τὸ ὅποιον ὁ Πλάτων εἰς τὸν διάλογον αὐτοῦ Φίληβος ὀνομάζει μεικτόν.

Β' . Περὶ ἰδεῶν καὶ εἰδῶν ὁμιλεῖ ὁ Πλάτων εἰς τινὰς διάλογους αὐτοῦ μεταξὺ τῶν ὁποίων καὶ ὁ Παρμενίδης (129 - 135). Εἰς τὸν Παρμενίδην ὅμως ἀνευρίσκομεν μεταξὺ ἄλλων σπουδαίων μαθηματικῶν ἐννοιῶν καὶ γενικᾶς τινὰς ἀρχὰς μίας θεωρίας περὶ συνόλων. Ἐκ τῆς θεωρίας ταύτης ἀναφέρομεν ἐνταύθα μόνον στοιχειὰ τινά, ὡς εἶναι ὁ ὁρισμὸς τοῦ μέρους (στοιχείου) καὶ τοῦ ὅλου (συνόλου) :

«Τό μέρος που μέρος ὅλου εστίν. Τὶ δὲ τὸ ὅλον; οὐχὶ οὗ ἄν μέρος μηδέν ἀπῇ ὅλον ἄν εἴη; (137 c).

— Ούκ ἄρα τῶν πολλῶν οὐδὲ πάντων τὸ μόριον μόριον, ἀλλὰ μιᾶς τίνος ἰδέας καὶ ἑνός τινος} ὅ καλοῦμεν ὅλον, ἐξ ἁπάντων ἕν τέλειον γεγονός, τούτον μόριον ἄν τὸ μόριον εἴη (157 d-e).»

[Ἑρμηνεία. Τὸ μέρος (στοιχεῖον) εἶναι βεβαίως μέρος ἑνὸς συνόλου. Τί εἶναι δὲ σύνολον ; Δὲν εἶναι σύνολον ἐκεῖνο, ἀπὸ τοῦ ὁποίου οὐδὲν μέρος ἀπουσιάζει;

— Οὐχὶ ἄρα τῶν πολλῶν οὐδὲ πάντων τῶν πραγμάτων τὸ μόριον (στοιχεῖον) εἶναι μόριον, ἀλλὰ μίας τίνος ἰδέας καὶ ἑνὸς τίνος, τὸ ὅποιον καλοῦμεν σύνολον καὶ τὸ ὅποιον ἐξ ὅλων τῶν στοιχείων ἔχει σχηματισθῆ εἰς ἐν τέλειον, τούτου τὸ στοιχεῖον θὰ εἶναι στοιχεῖον.]

Λίαν ἐνδιαφέρουσαν ἀνάπτυξιν τῆς θεωρίας τοῦ Πλάτωνος περὶ συνόλων ἀνευρίσκομεν εἰς τὰ σχόλια τοῦ Προκλοὺ εἰς τὸν Παρμενίδην καὶ εἰς τὴν πραγματείαν τοῦ ἰδίου, ἤτις φέρεται ὑπὸ τὸν τίτλον Προκλοὺ Πλατωνικοῦ Στοιχείωσις Θεολογικὴ (Fridericus Creuzer, Francofurti ad Moenum, 1822). Αὔτη περιλαμβάνει 211 προτάσεις. Ἐπισημειωτέον ὅτι ἀναίρεσιν τῆς Θεολογικῆς Στοιχειώσεως τοῦ Προκλοὺ ἐπιχειρεῖ διὰ 198 προτάσεων ὁ Ἐπίσκοπος Μεθώνης Νικόλαος διὰ τῆς πραγματείας αὐτοῦ «Ἀνάπτυξις τῆς Θεολογικῆς 1 Στοιχειώσεως Προκλοὺ Πλατωνικοῦ» (J. Th. Voemel, Francofurti ad Moenum, 1822). Καὶ ἡ πραγματεία ὅμως αὔτη δύναται νὰ θεωρηθῆ ὡς συμβολὴ εἰς τὴν ἑρμηνείαν τῆς Πλατωνικῆς θεωρίας περὶ συνόλων. Κατωτέρω παραθέτομεν τέσσαρας ἐκ τῶν 211 προτάσεων τοῦ Προκλού, τὰς ὓπ΄ ἀριθμ. 66, 67, 68, 69 διὰ τῶν ὅποιων θεωροῦμεν, ὅτι ἑρμηνεύεται σημαντικῶς ἡ περὶ συνόλων θεωρία τοῦ Πλάτωνος.

Πρότασις 66.

«Πάντα τὰ ὄντα πρὸ ἄλληλα ἤ ὅλα ἔστιν, ἤ μέρη, ἤ ταύτά, ἤ ἕτερα»

[Ἑρμηνεία. Πάντα τὰ ὄντα θεωρούμενα πρὸς ἄλληλα ἤ εἶναι σύνολα ἤ εἶναι στοιχεῖα, ἤ τὰ αὐτά στοιχεῖα ἤ διάφορα.]

Πρότασις 67.

«Πᾶσα ὁλότης ἤ πρὸ τῶν μερῶν ἔστίν, ἤ έκ τῶν μερῶν, ἤ ἐν ταῷ μέρει, ἤ γὰρ ἐν τῇ αἰτίᾳ τὸ ἑκάστου θεωροῦμεν εἶδος, καί ὅλον ἐκεῖνο πρό τῶν μερῶν λέγομεν, τό ἐν τῷ αἰτίῳ ὑποστάν, ἤ ἐν τοῖς μετέχονσιν αὐτοῦ μέρεσι. Καὶ τοῦτο διχῶς. ἤ γάρ ἐν ἅπασιν ὁμοῦ τοῖς μέρεσι, καὶ ἔστι τοῦτο· ἐκ τῶν μερῶν ὅλον, οὗ και ὁτιοῦν μέρος άπὸν ἐλασσοῖ τὸ ὅλον ἤ ἐν ἑκάστῳ τῶν μερῶν, ὁς καὶ τοῦ μέρους κατὰ μέθεξιν τοῦ ὅλου γεγονότος, ὅ καὶ ποιεῖ ταὸ μέρος εἶναι ὅλον μερικῶς. καθ’ ὕπαρξιν μὲν οὖν ὅλον τὸ ἐκ τῶν μερῶν· κατ’ αἰτίαν δὲ τὸ πρὸ ταῶν μερῶν κατά μέθεξιν δὲ τὸ ἐν τῷ μέρει. Καὶ γὰρ τοῦτο κατὰ τὴν ἐσχάτην ὕφεσιν ὅλον, ἧ μιμεῖται τὸ ἐκ τῶν μερῶν ὅλον, ὅταν μὴ τὸ τυχὸν ἦ μέρος, ἀλλὰ τῷ ὅλῳ δυνάμενον ἀφομοιοῦσθαι, οὗ καὶ τὰ μέρη ὅλα ἐστίν.»

[Ἑρμηνεία. Πᾶν σύνολον ἢ ὑπάρχει πρὸ τῆς ὑπάρξεως τῶν στοιχείων του, ἢ ὑπάρχει ἐκ τῶν στοιχείων του, ἢ εἰς ἕκαστον στοιχεῖον του. Διότι ἢ θεωρουμεν τὴν αἰτίαν 2, δὶ' ἢν ἐδημιουργήθη τὸ εἶδος ἑκάστου πράγματος (στοιχείου) καὶ τότε τὸ σύνολον τῶν πραγμάτων τὸ γενόμενον κατ' ἀκολουθίαν τοῦ αἰτίου τῆς δημιουργίας τὸ λέγομεν σύνολον ὑπάρχον πρὸ τῆς ὑπάρξεως τῶν μερῶν (στοιχείων) ἢ λέγομεν σύνολον κάτι, δυνάμει τῶν μερῶν, ἄτινα μετέχουσιν αὐτοῦ. Τὸ τελευταῖον τοῦτο σύνολον ὑπὸ διττὴν ἔννοιαν. 1) Ἢ διότι εἶναι σύνολον ἕνεκα ὅλων τῶν. μερῶν αὐτοῦ, καὶ εἶναι τοῦτο σύνολον ἐξ ὅλων τῶν μερῶν τοῦ (στοιχείων του), καὶ τὸ ὁποῖον σύνολον ἐλαττοῦται, ὅταν ἀπουσιάζῃ τούτου ὀ,τιδήποτε μέρος. 2) Ἢ διότι ὑπάρχει σύνολον εἰς ἕκαστον τῶν μερῶν τοῦ (στοιχείων τοῦ) θεωρουμένου τοῦ μέρους ὡς γεγονότος κατὰ μέθεξιν τοῦ συνόλου. Πρᾶγμα, τὸ ὅποιον (ἡ μέθεξις) κάμνει τὸ μέρος (στοιχεῖον) νὰ εἶναι μερικὸν σύνολον (ὑποσύνολον). Καθ' ὕπαρξιν μὲν λοιπὸν ὑπάρχει σύνολον ἀπαρτιζόμενον ἐκ τῶν στοιχείων αὐτοῦ· κατ' αἰτίαν δὲ ὑπάρχει σύνολον πρὸ τῆς ὑπάρξεως τῶν μερῶν τοῦ (στοιχείων του)· κατὰ μέθεξιν δὲ ὑπάρχει σύνολον εἰς ἐν μέρος (στοιχεῖον). Διότι καὶ τοῦτο (τὸ σύνολον ἑνὸς στοιχείου) εἶναι σύνολον κατὰ τὴν ἐσχάτην ὑπόστασιν, καθ' ὅσον τὸ στοιχεῖον σύνολον ἔχει τὰς ἰδιότητας τοῦ ἐκ τῶν στοιχείων ἀποτελουμένου συνόλου, ὅταν τὸ στοιχεῖον τοῦτο δὲν εἶναι τὸ τυχὸν μέρος, ἄλλα δύναται νὰ ἀφομοιωθῆ πρὸς τὸ σύνολον, τοῦ ὅποιου καὶ τὰ στοιχεῖα εἶναι σύνολα.]

Πρότασις 68.

«Πᾶν τὸ ἐv τῷ μέρει ὅλον, μέρος εστὶ τοῦ ἐκ τῶν μερῶν ὅλου. Εἰ γὰρ μέρος ἐστίν, ὅλον τινὀς ἐστι μέρος, καὶ ἤτοι τοῦ ἐν αὐτῷ ὅλου, καθὸ λέγεται ἐν τῷ μέρει ὅλον. αλ’ οὕτως αύτὸ ἑαντοῦ μέρος, και ἴσον τῷ ὅλω τὸ μέρος ἔσται καὶ ταὐτὸν ἑκάτερον ἤ ἄλλου τινὸς ὅλου. Καὶ εἰ ἄλλου, ἤ μόνον ἐστίν ἐκείνου μέρος καὶ οὕτως οὐδὲν ἄν πάλιν τοῦ ὅλου διαφέρει, ἑνός ὄντος ἕν ὄν μέρος, ἤ μεθ' ἑτέρου»

[Ἑρμηνεία. Πᾶν σύνολον ἀποτελούμενον ἐξ ἑνὸς στοιχείου εἶναι στοιχείου τοῦ ἐκ τῶν στοιχείων συνόλου. Διότι, ἐὰν τὸ σύνολον εἶναι ἐν στοιχεῖον, εἶναι στοιχεῖον συνόλου τινός, καὶ ἢ εἶναι στοιχεῖον τοῦ ἐν τῷ στοιχείῳ αὐτῶ συνόλου, καθόσον λέγεται σύνολον στοιχείου, ἄλλα τοιουτοτρόπως αὐτὸ εἶναι μέρος τοῦ ἑαυτοῦ του, καὶ θὰ εἶναι τὸ μέρος ἴσον πρὸς τὸ ὅλον, καὶ ἕκαστον ἐκ τῶν δύο (τὸ στοιχεῖον ὡς στοιχεῖον καὶ τὸ στοιχεῖον ὡς σύνολον) εἶναι τὸ αὐτὸ πρᾶγμα· ἡ εἶναι στοιχεῖον ἄλλου τινὸς συνόλου. Καὶ ἐὰν εἶναι στοιχεῖον ἄλλου τινὸς συνόλου (θὰ συμβαίνωσι δύο τινὰ) ἢ θὰ εἶναι τοῦτο τὸ μόνον στοιχεῖον ἐκείνου τοῦ συνόλου, καὶ τοιουτοτρόπως οὐδόλως θὰ διαφέρῃ πάλιν τοῦ συνόλου, διότι ὑπάρχει ἐν μέρος (στοιχεῖον) ὑπάρχοντος ἑνός, ἢ θὰ ἀποτελῇ σύνολον μὲ ἄλλο στοιχεῖον.]

Πρότασις 69.

«Πᾶν τὸ ἐκ τῶν μερὼν ὅλον μετέχει τῆς προ τῶν μερῶν ὁλότητος»

[Ἑρμηνεία. Πᾶν τὸ ἐκ τῶν στοιχείων ἀποτελούμενον σύνολον μετέχει τοῦ συνόλου τοῦ ὑπάρχοντος πρὸ τῆς ὑπάρξεως τῶν στοιχείων].
__________________________________

1. Ό Gordan χαρακτηρίζει την πρώτην απόδειξιν του Hilbert διά την ύπαρξιν του πεπερασμένου συστήματος αναλλοιώτων ώς θεολογικήν. Α. FRAENKNKEL, Einleitling in die MengenLehre, Springer - Verlag, Berlin 1928, σελ. 227.


2. Εις τον Φίληβον, τον όποιον μνημονεύει ό G. Cantor αναφέρονται τέσσαρες αρχαί των όντων: το άπειρον, το πέρας έχον, το εκ τούτων μεικτόν, και ή αιτία της μείξεως του απείρου και τον πέρας έχοντος (23 c . . . 30 α).






Δεν υπάρχουν σχόλια: