Οι μαθηματικοί του Μεσαιωνικού ελληνισμού

Του Μιχάλη Μανωλόπουλου ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.δ. τ.1/12

Θα ακολουθήσει μία περιληπτική αναφορά σε μαθηματικούς του Μεσαιωνικού Ελληνισμού. Σημαντικό μέρος των βιογραφούμενων εκτός από την ενασχόλησή του με τα μαθηματικά είχε να επιδείξει επιστημονική δράση και στις υπόλοιπες θετικές επιστήμες όπως και στην θεολογία, την φιλοσοφία, την ποίηση και την ιστορία. Κάποιοι υπήρξαν επίσης προσωπικότητες με έντονη πολιτική δράση. Όπως είναι φυσικό το ενδιαφέρον μας εστιάστηκε κυρίως στην πρώτη τους δραστηριότητα.

Και μία επισήμανση που νομίζουμε δεν στερείται σημασίας. Η αυτοκρατορία που επί έντεκα αιώνες διαμόρφωσε ένα λαμπρό πολιτισμό, ποτέ δεν αυτοαποκλήθηκε Βυζαντινή. Οι κάτοικοι της ονόμαζαν τους εαυτούς τους Ρωμαίους ή Χριστιανούς και την πατρίδα τους Ρωμανία. Όσο μάλιστα υποχωρούσε, με το πέρασμα του χρόνου, η ταύτιση του Έλληνα με τον ειδωλολάτρη διευρύνετο η χρήση του ονόματος Έλληνας. Σ' αυτό το άρθρο λοιπόν υπάρχει η συνεισφορά της «Νέας Ρώμης» στα μαθηματικά, αλλά και στις φυσικές επιστήμες γενικότερα, συνεισφορά του Ελληνισμού και μάλιστα του Μεσαιωνικού Ελληνισμού. Είναι απαραίτητο να αναφερθεί εδώ, μια άποψη που την ασπάζεται η πλειοψηφία των ιστορικών της επιστήμης. Ο Μεσαίωνας δεν είναι καθόλου μια «σκοτεινή» περίοδος της ιστορίας, όπως ίσως θα άρεσε σε κάποιους, ούτε η σχολαστική παράδοση εκείνης της εποχής υπονόμευε την επιστήμη. Αυτά κυρίως για τον δυτικό Μεσαίωνα γιατί στην Ανατολή έχουμε μία τεράστια πνευματική, πολιτιστική καλλιτεχνική και επιστημονική άνθιση, με αποτέλεσμα τον 14° και 15° αιώνα, τα πλήθη στη Δύση να κρέμονται από τα στόματα ακόμα και μετρίων λογίων προσφύγων από την Ανατολή. Η δημιουργικότητα του ελληνικού πνεύματος δεν περιορίζεται μόνο στην αρχαιότητα. «Ο ρόλος του Βυζαντίου στην εξέλιξη των επιστημών και ιδιαίτερα των μαθηματικών και της αστρονομίας είναι σημαντικός» (Ιστορία της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας, έκδοση του Πανεπιστημίου του Cambridge). Κληρικοί, μοναχοί αλλά και λαϊκοί καλλιέργησαν και συντήρησαν τον πολιτισμό και τις επιστήμες. Χαρακτηριστικό της ευρύτητας του πνεύματος των, είναι το ενδιαφέρον τους για την σοφία των Περσών και των Ινδών, όπως αναφέρει ο καθηγητής Β. Τατάκης.

Συνηθίζεται η Βυζαντινή Ιστορία να διαιρείται σε τρεις μεγάλες περιόδους: την Πρώιμη, τη Μέση και την Ύστερη.

Α. Πρώιμη Περίοδος

Αρχίζει το 324 μ.Χ. με την ίδρυση της Νέας Ρώμης (Κωνσταντινουπόλεως). Διαρκεί μέχρι τα μέσα περίπου του 7ου αιώνα. Το τέλος της συμπίπτει με την άνοδο του Ισλαμισμού και την οριστική εγκατάσταση των Αράβων στις νοτιοανατολικές ακτές της Μεσογείου.

 Β. Μέση Περίοδος

Διαρκεί μέχρι την άλωση της Κωνσταντινουπόλεως από τους Σταυροφόρους το 1204.

Γ. Ύστερη Περίοδος

Από το 1204 μέχρι την Άλωση της Πόλης από τους Τούρκους, το 1453.

Μαθηματικοί της Πρώιμης Περιόδου

Σερήνος (4^ος μ.Χ. αιώνας). Έλληνας μαθηματικός από την Αντινούπολη της Αιγύπτου. Χρονολογικά η δράση του τοποθετείται μεταξύ του Πάππου (τέλη του 3ου μ.Χ. αιώνα) και του Θέωνος του Αλεξανδρέως (330-390 μ.Χ.). Έχουν σωθεί τα εξής δύο έργα του: Περί κυλίνδρου τομής και Περί κώνου τομής. Έγραψε επίσης σχόλια στα Κωνικά του Απολλώνιου, τα οποία χάθηκαν. Στο Περί κυλίνδρου τομής αποδεικνύει ότι αν ο κώνος και ο κύλινδρος τμηθούν κατά ορισμένο τρόπο προκύπτουν ταυτόσημα σχήματα. Στις τελευταίες σελίδες αυτού του βιβλίου περιέχονται προτάσεις που αφορούν τις επιφάνειες και τους όγκους κυκλικών κώνων. Στο Περί κώνου τομής υπάρχει μια πρόταση που θεωρείται βασική για την θεωρία των αρμονικών λόγων. Και τα δύο αυτά έργα στηρίζονται σε εργασίες του Απολλώνιου του Περγαίου. Με την μελέτη των έργων του Σερήνου ασχολήθηκε την εποχή των Παλαιολόγων ο Έλληνας φιλόσοφος Θεόδωρος Μετοχίτης (1260-1332). Τα έργα του Σερήνου εκδόθηκαν από τον Σ.Λ. Χάιμπεργκ το 1896, στην Βιβλιοθήκη Teubner.

Θέων ο Αλεξανδρεύς (330-395 μ.Χ.). Μαθηματικός, αστρονόμος και φιλόσοφος, δίδαξε στο μουσείο της Αλεξάνδρειας (πανεπιστήμιο και βιβλιοθήκη), του οποίου διατέλεσε και διευθυντής. Κατέγραψε δύο εκλείψεις του ηλίου (των ετών 365 και 372). Έγραψε ένα αστρονομικό σύγγραμμα βασισμένο στο έργο του Ιππάρχου. Εξέδωσε το 370 μ.Χ. τα στοιχεία του Ευκλείδη, μάλιστα υπήρξε διάδοχος του στη σχολή. Ο αριθμός των βιβλίων που συνέγραψε φαίνεται πως ήταν 13. Σώζεται πλήρως το βιβλίο που περιέχει σχόλια στη Σύνταξη του Πτολεμαίου.

Πρόκλος ο Λύκειος (410-485 μ.Χ.). Νεοπλατωνικός φιλόσοφος, μαθηματικός και αστρονόμος. Γεννήθηκε στην Κωνσταντινούπολη και πέθανε στην Αθήνα. Υπήρξε μαθητής του Ήρωνα, του Ολυμπιόδωρου, του Πλουτάρχου και του Συριανού τον οποίο διαδέχθηκε στην διεύθυνση της Ακαδημίας Αθηνών. Ο βιογράφος του και μαθητής του Μαρίνος, αναφέρει ότι σπούδασε στην Λυκεία και κατόπιν στην Αλεξάνδρεια. Ήταν πολυμαθής, με πνεύμα συστηματικό όχι όμως και δημιουργικό. Είχε ασκητικές τάσεις. Έγραψε φιλοσοφικά έργα καθώς και σχόλια σε έργα του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη. Στο έργο του Περί σφαίρας πραγματεύεται τους ουράνιους κύκλους, υπάρχει δε αναφορά στον Ερμή και την Αφροδίτη ως δορυφόρων του Ηλίου. Έγραψε επίσης το Υποτύπωσις των αστρονομικών υποθέσεων. Πρόκειται για σχόλια στον Ευκλείδη το Νικόμαχο και τον Πτολεμαίο. Από τα υπομνήματα του στον Ευκλείδη σώζεται δυστυχώς μόνο εκείνο που αναφέρεται στο πρώτο βιβλίο, το οποίο περιέχει και πολλές ιστορικές πληροφορίες.

Αμμώνιος (5^ος μ.Χ. αιώνας). Νεοπλατωνικός φιλόσοφος αστρονόμος και σχολιαστής. (Σχολιαστές ονομάζονται οι εξηγητές των κειμένων των μεγάλων μαθηματικών συγγραφέων). Έζησε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Σπούδασε με τον αδερφό του Ηλιόδωρο στην Αθήνα έχοντας δάσκαλο τον Πρόκλο. Υπήρξε δάσκαλος των πιο σημαντικών νεοπλατωνικών του 6ου αιώνα, όπως του  Συμπλίκιου του Ολυμπιόδωρου, του Ιωάννη του Φιλόπονου και άλλων. Προσπάθησε να συνδυάσει τον μυστικισμό των νεοπλατωνικών με τον ορθολογισμό του Αριστοτέλη. Από την κοσμολογία του διαφαίνεται πως ήταν κοντύτερα στον Χριστιανισμό παρά στην αρχαία ελληνική σκέψη. Υπήρξε σχολιαστής των έργων του Αριστοτέλη. Στα σχόλιά του στις Κατηγορίες του Αριστοτέλη αναφέρεται στον τετραγωνισμό του κύκλου. Υποθέτει μάλιστα το αδύνατο της λύσεώς του, υπόθεση ορθή όπως αποδείχθηκε το 1882.

Συνέσιος (370-413). Επίσκοπος Πτολεμαίος. Νεοπλατωνικός φιλόσοφος, χαρακτηριστικός εκπρόσωπος του αρχαίου κόσμου στην μεταβατική περίοδο της τελικής επικρατήσεως του χριστιανισμού στην Αίγυπτο. Σπούδασε φιλοσοφία στην Αλεξάνδρεια, όπου παρακολούθησε τις παραδόσεις της φιλοσόφου Υπατίας.

Παρέμεινε τρία χρόνια στην Κωνσταντινούπολη παρακολουθώντας τις φιλοσοφικές τάσεις της εποχής του. Το 410 κατόπιν απαιτήσεως του λαού χειροτονήθηκε επίσκοπος Πτολεμαίδος. Ασχολήθηκε ιδιαίτερα με την Αστρονομία και την Φυσική. Κατασκεύασε αστρολάβο, δηλαδή αστρονομικό όργανο για τον προσδιορισμό της θέσης ενός αστέρα στον ουράνιο θόλο. Έγραψε μάλιστα και σχετική πραγματεία με τον τίτλο: Προς Παιόνιον υπέρ του δώρου αστρολαβίου λόγος.

Θέλοντας κανείς να αναφερθεί σε ονόματα και δράστηριότητες, κάνοντας πάντα μία επιλογή, θα πρέπει να γεμίσει σελίδες επί σελίδων. Όμως ο περιορισμός χώρος ενός άρθρου δεν το επιτρέπει. Έτσι περιοριζόμαστε σε μια απλή μνεία.

Ανατόλιος (3^ος- έως 4^ος αιώνας), επίσκοπος Λαοδικείας, μαθηματικός.

Μαρκιανός ο Ηρακλιώτης (4^ος μ.Χ. αιώνας). Έλληνας γεωγράφος από την Ηράκλεια του Πόντου, διασωθέντα αποσπάσματα έργων του μαρτυρούν σωστές γνώσεις μαθηματικής γεωγραφίας.

Δαμιανός (4^ος μ.Χ. αιώνας). Φυσικός, φιλόσοφος και μαθηματικός, από την Λάρισα της Συρίας.

Μαρίνος ο Νεαπολίτης (5^ος: μ.Χ. αιώνας). Εξέδωσε τα Δεδομένα του Ευκλείδη προλογίζοντάς τα και σχολιάζοντάς τα.

Συμπλίκιος (5^ος μ.Χ. αιώνας). Φιλόσοφος, μαθηματικός, αστρονόμος και σχολιαστής.

Δόμνινος (5^ος μ.Χ. αιώνας). Νεοπλατωνικός φι-λόσοφος και μαθηματικός. Εβραίος το θρήσκευμα.

Ο Ανθέμιος ο Τραλλιανός και ο Ισίδωρος ο Μιλήσιος (6^ος μ.Χ. αιώνας) είναι γνωστοί ως οι αρχιτέκτονες του περικαλλούς ναού της Αγίας Σοφίας, λίγοι όμως γνωρίζουν την λοιπή επιστημονική τους δράση. Αρχιτέκτονας μηχανικός και γεωμέτρης από τις Τράλλεις της Μ. Ασίας ο πρώτος σπούδασε σε ανώτερες σχολές της αυτοκρατορίας. Εισήγαγε τον λόγο της χρυσής τομής σε πολλές κατασκευές του. Μελέτησε τις ιδιότητες των κωνικών τομών τις οποίες εφάρμοσε στην οπτική, προχωρώντας σε. πολλά σημεία πέραν του Απολλώνιου του Περγαίου. Στον Ανθέμιο οφείλεται η ανακάλυψη ότι η εστία παραβολικού κατόπτρου συγκεντρώνει τις ακτίνες που προσπίπτουν σ' αυτό παράλληλες προς τον άξονά του. Ο Ανθέμιος διακρίθηκε και για το συγγραφικό του έργο στον τομέα της μηχανικής, από το οποίο διασώθηκαν ελάχιστα αποσπάσματα της πραγματείας «Περί παραδόξων μηχανημάτων». Πραγματευόταν σ αυτήν την ελάχιστη δύναμη του υδρατμού και τα σφαιρικά τρίγωνα του Αρχιμήδη. Πέθανε το 534 μ.Χ. Θεωρείται ο διαμορφωτής του βυζαντινού ρυθμού στην αρχιτεκτονική, προσθέτοντας χαμηλό τρούλο στην βασιλική και σειρά παραθύρων στο τύμπανο του ναού. Ο δεύτερος ο Ισίδωρος ήταν μαθητής και ανιψιός του Ανθεμίου. Μαθηματικός και αρχιτέκτονας. Έχτισε μαζί με τον Ανθέμιο τον ναό της Αγίας Σοφίας στην Κωνσταντινούπολη με εντολή του αυτοκράτορα Ιουστινιανού, από το 532 έως το 537, καθώς και οχυρωματικά έργα στην Δάρα της Συρίας. Επινόησε όργανο με το οποίο γράφεται η υπερβολή. Δημοσίευσε το έργο Περί κατασκευής κοίλων κατόπτρων. Υπήρξε εκδότης και σχολιαστής των έργων του Ευτοκίου που αφορούσαν τον Απολλώνιο και τον Αρχιμήδη. Έγραψε επίσης σχόλια στα Καμαρικά του Ήρωνος του Αλεξανδρέως και εξέδωσε τα έργα του Αρχιμήδη. Υπήρξε δάσκαλος του τελευταίου διευθυντή της Ακαδημίας Αθηνών του Δαμάσκιου.

Ιωάννης ο Φιλόπονος (6^ος μ.Χ. αιώνας). Βαθύς μελετητής του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη. Έγραψε μονογραφίες στα Μαθηματικά και στην Αστρονομία. Έγραψε επίσης υπομνήματα στον Αριστοτέλη και στην Αριθμητική εισαγωγή του Νικομάχου του Γερασηνού.

Στέφανος ο Αλεξανδρεύς (6^ος μ.Χ. αιώνας). Περίφημος έλληνας λόγιος και μαθηματικός επί της εποχής του αυτοκράτορα Ηρακλείου. Δίδαξε στο πανεπιστήμιο της Κωνσταντινουπόλεως φιλοσοφία, μαθηματικά, αστρονομία και μουσική.

Μαθηματικοί της Μέσης Περιόδου

Κατά την μέση περίοδο, θα αναφερθούμε εκτενέστερα σε δύο λαμπρά ονόματα πνευματικών και επιστημονικών προσωπικοτήτων, του Λέοντος του Μαθηματικού και του Μιχαήλ του Ψελλού.

Λέων ο Φιλόσοφος ή Μαθηματικός (9^ος μ.Χ. αιώνας). Μητροπολίτης Θεσσαλονίκης. Λόγιος του 9ου αιώνα και από τις σημαντικότερες πνευματικές προσωπικότητες της εποχής του. Φιλόσοφος, αστρονόμος και μαθηματικός, κατέβαλλε μεγάλες προσπάθειες για να περισώσει το έργο των μεγάλων κλασσικών μαθηματικών. Με δική του πρωτοβουλία εκδόθηκαν τα Άπαντα του Αρχιμήδη στην Κωνσταντινούπολη. Δίδαξε στην ανώτερη σχολή της Μαγναύρας φιλοσοφία, μαθηματικά, αστρονομία και μουσική και απέκτησε μεγάλη φήμη, όχι μόνο στην αυτοκρατορία αλλά και στον αραβικό κόσμο. Ο ίδιος είναι επίσης ο συγγραφέας του ιατρικού συγγράμματος Σύνοψις Ιατρική. Κλήθηκε για να διδάξει στη Βαγδάτη, από τον χαλίφη Αλ Μαμούν, μαθηματικά αλλά τελικά δεν πήγε, αφού ανέλαβε κρατική θέση δασκάλου από τον αυτοκράτορα, στο κρατικό πανεπιστήμιο της Μαγναύρας. Μέχρι τότε δίδασκε στην εκκλησιαστική σχολή των Σαράντα Μαρτύρων. Αξίζει να αναφερθεί ότι είχε μαθητή τον Απόστολο των Σλαύων Κύριλλο, ο οποίος πριν να αρχίσει το ιεραποστολικό του έργο, επήρε την έδρα της φιλοσοφίας στο Πανεπιστήμιο της Κωνσταντινουπόλεως. Βελτίωσε το σύστημα αποστολής οπτικών μηνυμάτων (των φρυκτοριών), των αρχαίων ελλήνων με το «Προνόμιο». Επρόκειτο για σύστημα συγχρονιζόμενο με μηχανικά ωρολόγια, υποδιαιρούμενα σε αντίστοιχες ώρες και συνδυασμένα με αριθμογραφικό κώδικα των σπουδαιοτέρων ειδήσεων. Είναι ο πρώτος που χρησιμοποίησε γράμματα τις για αλγεβρικές πράξεις (ανακοίνωση στο 11° Παγκόσμιο Βυζαντιλογικό Συνέδριο το 1958 από τον Καθηγητή Κ. Vogel). Χρειάστηκε να περάσουν 750 χρόνια για να επαναλάβει την επινόηση ο γάλλος μαθηματικός F. Viete.

Ήρων ο νεώτερος ή Βυζάντιος (9^ος μ.Χ. αιώνας). Έζησε την ίδια εποχή με τον Λέοντα τον Μαθηματικό. Πολλές γνώσεις του Ήρωνα (που κάποιες από αυτές οφείλονται στον Ήρωνα τον Αλεξανδρέα), μετέφερε στην Ιταλία, γύρω στον 12° αιώνα ο Ιταλός μαθηματικός έμπορος και σταυροφόρος Φιμπονάτσι. Στην εποχή της Αναγεννήσεως οι πραγματείες του συνετέλεσαν στην ανάπτυξη των φυσικών επιστημών.

Ιωάννης ο Κυριώτης (Ι0^ος μ.Χ. αιώνας). Γνωστός με το όνομα Γεωμέτρης. Υπήρξε επίσκοπος Μελιτινής. Από τους επιφανέστερους Βυζαντινούς λόγιους. Μαθηματικά σπούδασε κοντά στον πατρίκιο Νικηφόρο.

Μιχαήλ ο Ψελλός (1018-1096). Πρόκειται για το φωτεινότερο πνεύμα της εποχής του. Περίφημος βυζαντινός θεολόγος, λόγιος, φιλόσοφος και αξιωματούχος. Σημάδεψε ανεξίτηλα την βυζαντινή διανόηση της ύστερης περιόδους και προετοίμασε το έδαφος για την έλευση της Ιταλικής Αναγέννησης. Το μεγαλείο της διάνοιας του Ψελλού έγκειται στο γεγονός ότι ήξερε να διατηρεί ισορροπίες. Έτσι ενώ είχε πάθος για την φιλοσοφία, δεν αμφισβήτησε ποτέ την χριστιανική του πίστη, την οποία πίστευε ότι ενίσχυε μέσα από τον στοχασμό του. Έγινε μοναχός αλλά συνέχισε και το διδακτικό του έργο και την ε-νασχόλησή του με τις υποθέσεις της αυτοκρατορίας λόγω των αξιωμάτων που κατείχε. Ένα μέρος της μόρφωσής του το οφείλει στις προσπάθειες της μητέρας του Θεοδότης, η οποία κοπίασε πολύ για να το επιτύχει. Έγραψε έργα πάνω στην αριθμητική και στην γεωμετρία. Έδειξε ενδιαφέρον για την φιλοσοφία των μαθηματικών. Ασχολήθηκε με τα έργα του Διοφάντου. Δίδαξε μαθηματικά και ανέπτυξε θέματα φυσικής, όπως για το χρώμα, την ύλη, την κίνηση, την ηχώ, την βροχή και την αστραπή στο έργο του Διδασκαλία παντοδαπή. Έγραψε επίσης μετεωρολογική πραγματεία, καθώς και υπόμνημα στα Φυσικά του Αριστοτέλη. Ανάμεσα στους μαθητές του συγκαταλέγονταν πολλοί Άραβες και ένας Βαβυλώνιος. Γνώριζε από πολύ μικρός την Ιλιάδα απ' έξω. Ήταν πολυμαθέστατος. Τα έργα του καλύπτουν όλους τους γνωστούς τομείς του καιρού του: αριθμητική, γεωμετρία, φυσική, μετεωρολογία, θεολογία, φιλοσοφία, αστρονομία, ιατρική, γραμματική, μετρική, ρητορική, δίκαιο, ιστορία, λαογραφία, μουσική και αποτελούν ως τις μέρες μας αντικείμενο έρευνας.

Μαθηματικοί της Ύστερης Περιόδου

Νικηφόρος Βλεμμύδης (1197-1272). Λόγιος Βυζαντινός κληρικός από την Κωνσταντινούπολη. Για τα έργα του Επιτομή Φυσικής και Επιτομή Λογικής, ο εκδότης έργων του Α. Heisenberg, παρατηρεί ότι αυτά έχουν καταστήσει αθάνατο το όνομα του συγγραφέα τους. Έγραψε επίσης θεολογικές, χημικές, ιατρικές πραγματείες, ακολουθίες αγίων, ποιήματα και επιστολές. Τέλος αναφέρεται ότι ο Βλεμμύδης ήταν βαθύς γνώστης εννοιών, όπως τα απείρως μικρά και τα απείρως μεγάλα ποσά και οι μεταβολές τους, που είναι θέματα του Απειροσπκού Λογισμού.

Γεώργιος Ακροπολίτης (1220-1282). Γεννήθηκε στην Κωνσταντινούπολη από πλούσιους και ευγενείς γονείς. Διακρίθηκε ως συγγραφέας, σχολιαστής και ιστορικός. Υπήρξε επίσης αξιόλογος διπλωμάτης. Μετά την ανάκτηση της Κωνσταντινουπόλεως (1261) του ανατέθηκε η διεύθυνση της αναδιοργανωμένης Ακαδημίας, στην οποία δίδαξε φιλοσοφία και μαθηματικά. Είχε σπουδαίο βιβλιογραφικό εργαστήριο, στο οποίο γινόταν η αντιγραφή, η διόρθωση, η συμπλήρωση και ο έλεγχος, βάσει αρχαιοτέρων κειμένων, έργων προγενεστέρων συγγραφέων.

Γεώργιος Παχυμέρης (1242-1310). Από τους σημαντικότερους Βυζαντινούς λογίους των παλαιολογείων χρόνων, με πολυποίκιλα ενδιαφέροντα, πλούσιο συγγραφικό έργο και αξιόλογη πολιτική και εκκλησιαστική δράση. Υπήρξε μαθητής του Γεωργίου Ακροπολίτη στην Νίκαια. Ήλθε στην Κωνσταντινούπολη μετά την κατάλυση της λατινικής κυριαρχίας, όπου και χειροτονήθηκε κληρικός. Δίδαξε ρητορική, φιλοσοφία, θεολογία και μαθηματικά. Είχε σε μεγάλη εκτίμηση τα μαθηματικά για τα οποία υποστήριζε ότι ο άνθρωπος αξίζει να ασχολείται με αυτά, όχι μόνο για την ευχαρίστηση που προσφέρουν αλλά και για την πρακτική τους χρησιμότητα. Χαρακτηριστικά έλεγε ότι ο Θεός «έοικεν υμίν ονειδίζειν αγεωμετρήτοις διαμένουσι», δηλαδή ο Θεός συνήθιζε να ντροπιάζει αυτούς που παρέμεναν χωρίς γνώσεις γεωμετρίας. Διατύπωσε επίσης παρόμοιες αντιλήψεις, αρκετούς αιώνες νωρίτερα με εκείνες του θεμελιωτή της αναλυτικής γεωμετρίας Reni Desdcartes, για τις μαθηματικές ιδιότητες των υλικών όντων. Έγραψε το «Περί αριθμητικής κεφαλαίου εν το Διοφάντω» (που εκδόθηκε το 1895 από τον P. Tannery). Επίσης το «Σύνταγμα των τεσσάρων μαθημάτων αριθμητικής, μουσικής, γεωμετρίας και αστρονομίας» (που εκδόθηκε το 1940 στο Βατικανό από τον P. Tannery με πρόλογο και επιμέλεια του Ε. Στεφάνου) και το οποίο έμελλε να αποτελέσει βασική πηγή διδασκαλίας, ιδιαίτερα στα μαθηματικά. Ο Krumbacher θεωρούσε τον Παχυμέρη ισάξιο του Ρογήρου Βάκωνος, που πρόσφερε πολλά στην επιστημονική πρόοδο της Δύσης. Με το προηγούμενο έργο του ο Παχυμέρης μπορεί να θεωρηθεί από τους αρχηγέτες της επιστημονικής αναγέννησης, που ανανέωσε τις γνώσεις της επιστήμης με την μελέτη των φυσικών φαινομένων από καθαρά ποσοτική άποψη. Ασχολήθηκε ακόμα και έλυσε προβλήματα αορίστων εξισώσεων β' βαθμού.

Πλανούδης Μάξιμος (1255-1305). Λόγιος μοναχός και συγγραφέας. Γεννήθηκε περί το 1255 στη Νικομήδεια της Βιθυνίας και πέθανε περί το 1305 στην Κωνσταντινούπολη. Ήταν κάτοχος ευρύτατης θεολογικής και φιλολογικής παιδείας, καθώς και συγγραφέας θεολογικών και φιλολογικών έργων. Θ Πλανούδης σχολίασε έργα των μαθηματικών Ευκλείδη, Διοφάντου, Πτολεμαίου και του Αράτου. Σχολίασε επίσης έργα γεωγράφων και αστρονόμων. Στο έργο του Ψηφοφορία κατ' Ινδούς, εισήγαγε την χρήση των αραβικών-ινδικών αριθμών. Αποτελεί μαθηματική πραγματεία σχετικά με τη χρήση των ινδικών αριθμητικών ψηφίων και του μηδενός που περιλαμβάνει και μέθοδο υπολογισμού της τετραγωνικής ρίζας. Η αλληλογραφία του με τον αστρονόμο Μανουήλ Βρυέννιο, ανέδειξε την ευρύτητα των αστρονομικών του γνώσεων. Αναφέρεται ότι η Χριστόφορος Κολόμβος, είχε υπ' όψιν του, δικό του χάρτη για τα υπερπόντια ταξίδια του.

Εμμανουήλ Μοσχόπουλος (1260-1316). Βυζαντινός λόγιος, γραμματικός και σχολιαστής που γεννήθηκε στην Κρήτη. Τα έργα του διακρίνονται σε φιλολογικά θεολογικά και μαθηματικά. Η γραμματική του και το Ελληνικό Λεξικό του, μαζί με τις μεταφράσεις του Πλανούδη, υπήρξαν προσφιλή βοηθήματα στην Δύση για την εκμάθηση των ελληνικών. Στα μαθηματικά έργα του, περιλαμβάνονται η διαμόρφωση των Αριθμητικών του Πλανούδη και ο σχολιασμός της εκδόσεις του Διόφαντου του ιδίου. Έγραψε επίσης την «Παράδοσιν εις την εύρεσιν των τετραγώνων αριθμών», των γνωστών μέχρι σήμερα στους μαθηματικούς μαγικών τετραγώνων.

Μετοχίτης Θεόδωρος (1260-1331). Καταγόταν από την Νίκαια, απ όπου μετά την εγκύκλειο παιδεία μετέβη στην Κωνσταντινούπολη και επιδόθηκε στη μελέτη της φιλοσοφίας της ρητορικής και της αστρονομίας. Από τα έργα του έχει εκδοθεί το: Υπομνηματισμοί και σημειώσεις γνωμικαί, στο οποίο εξετάζονται διάφορα ζητήματα σχετικά με τη φιλοσοφία, τα μαθηματικά, τη φυσική και την αστρονομία, με πρωτοτυπία για την εποχή του, καθώς και διάφοροι λόγοι και ποιήματά του. επίσης οι επιστημονικές πραγματείες: α) Περί εκλείψεων ηλίου και σελήνης, β) Εισαγωγή εις την αστρονομίαν.

Νικόλαος Καβάσιλας (1290-1371). Άγιος της Ορθόδοξης Εκκλησίας. Έγραψε υπόμνημα στην «Σύνταξιν» του Πτολεμαίου. Όπως σημειώνει ο ιστορικός των μαθηματικών Μ. Cantor, με τον Καβάσιλα αρχίζει μια νέα γενιά η οποία προετοιμάζει την αναγέννηση της κλασικής επιστήμης στην Ευρώπη. Υπήρξε ένας από τους πρώτους που χρησιμοποίησαν τον όρο «Έλλην» για να δηλώσουν τον έκδηλο βυζαντινό «εθνικισμό» και «πατριωτισμό» των υστεροβυζαντινών χρόνων.

Νικηφόρος Γρηγοράς (1295-1359). Σπουδαίος βυζαντινός λόγιος, φιλόσοφος, ιστορικός, θεολόγος και αστρονόμος. Διδάχθηκε φιλοσοφία, αστρονομία και μαθηματικά από τον Θεόδωρο Μετοχίτη. Ίδρυσε σχολή στη Μονή της Χώρας, όπου σπούδαζαν μόνο νέοι από την αυτοκρατορία, αλλά και από άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Το 1324 παρουσίασε στον αυτοκράτορα Ανδρόνικο Β' Παλαιολόγο και σε άλλους αξιωματούχους του παλατιού τη θεωρία του για την διόρθωση του Ιουλιανού ημερολογίου που καθιερώθηκε αργότερα (1528) από τον πάπα Γρηγόριο ΚΓ΄ στη Δύση. Έτυχε της εκκλησιαστικής εγκρίσεως, επαινέθηκε αλλά δεν εφαρμόστηκε. Ο Γρηγοράς γνώριζε την επίδραση της Σελήνης στη δημιουργία του φαινομένου των παλιρροιών και μπορούσε να καθορίσει τις εκλείψεις των επομένων χρόνων. Ενδεικτικά από το έργο του αναφέρουμε: «Το διορθωθέν Πασχάλιον», «Περί του Σύμπαντος», «Σύστημα του κόσμου», «Έκθεσις των υπολογισμών των εκλείψεων του ηλίου κατά Πτολεμαίον», «Υπόμνημα και συμπλήρωσις των αρμονικών του Πτολεμαίου». Πολλά από τα έργα του παραμένουν ανέκδοτα.

Νικόλαος Αρταβάσδος (14^ος μ.Χ. αιώνας). Ο επονομαζόμενος και Ραβδάς. Γεννήθηκε στη Σμύρνη αλλά έζησε στην Κωνσταντινούπολη. Ασχολήθηκε με την αριθμητική και την γεωμετρία. Προέβη σε νέα επιμελημένη έκδοση του αριθμητικού έργου του Μάξιμου Πλανούδη «Ψηφοφορία κατ' Ινδούς η λεγομένη μεγάλη». Έγραψε επίσης επιστολές. Η πρώτη έχει τίτλο «Παράδοσις σύντομος και σαφεστάτη της ψηφοφορικής επιστήμης», ασχολείται με τον τρόπο της αρίθμησης με τα δάκτυλα των χεριών από το 1 μέχρι το 9.999. Στη δεύτερη επιστολή, που έγραψε το 1341 και έχει τίτλο «Μέθοδος πολιτικών λογαριασμών» (δηλ. περί της σημερινής λεγόμενης μεθόδου των τριών), παρουσιάζονται σελίδες που αφορούν την εξαγωγή ρίζας, και μία μέθοδος υπολογισμού της χρονολογίας του Πάσχα. Επίσης υπάρχει μία γενική θεωρία χρήσιμη στη λύση προβλημάτων του πρακτικού βίου στηριζομένη στην θεωρία των αναλογιών. Μέσα εκεί εκθέτει 18 προβλήματα με λύσεις που έχουν αρκετό ενδιαφέρον, γιατί επιλύουν προβλήματα άλγεβρας αρκετά πολύπλοκα, που σήμερα λύνονται με την βοήθεια πρωτοβαθμίων εξισώσεων. Οι δύο αυτές επιστολές εκδόθηκαν από τον Paul Tanner/ το 1866.

Ισαάκ Αργυρός (14ος μ.Χ. αιώνας). Μοναχός, μαθητής του Νικηφόρου Γρηγορά. Έγραψε σχόλια στα πρώτα έξι βιβλία των Στοιχείων του Ευκλείδη. Συνέγραψε μαθηματικά και αστρονομικά βιβλία. Ασχολήθηκε με τη γεωμετρία, την τριγωνομετρία και τη γεωδαισία. Έγινε γνωστός από την πρόταση που έκανε το 1371 για την διόρθωση του Πασχάλιου Κανόνα. Συνέχισε με επιτυχία το έργο του Νικηφόρου Γρηγορά.

Γεώργιος Χρυσοκόκκης (14^ος μ.Χ. αιώνας). Ιατρός και αστρονόμος και μαθηματικός. Υπήρξε μαθητής του Μετοχίτη. Είναι πιθανόν να εργάσθηκε στην βιβλιοθήκη του Βατικανού, όπου έσωσε πολύτιμα ελληνικά χειρόγραφα από την λήθη και την καταστροφή. Ο Χρυσοκόκκης εμυήθη στην περσική σοφία από έναν Τραπεζούντιο κληρικό. Έγραψε το βιβλίο «Εξήγησις εις την Σύνταξιν των Περσών» (1346), όπου μετέφερε περσικές γνώσεις γύρω από τα μαθηματικά και την αστρονομία, καθώς και το έργο «Πρόχειρος παράδοσις εις τους περσικούς κανόνες της αστρονομίας». Τέλος αναφέρεται πως έγραψε βιβλία με μαθηματικό περιεχόμενο.

Μανουήλ Βρυένιος (1405 μ.Χ. αιώνας). Αστρονόμος, μαθηματικός και θεωρητικός της βυζαντινής μουσικής. Έγραψε το περίφημο έργο Περί Μουσικής, στο οποίο αποδεικνύει την ιστορική συνέχεια της βυζαντινής μουσικής από την κλασική ελληνική μουσική.

Η αγάπη των Βυζαντινών για την μόρφωση την θεωρία και την επιστήμη ήταν μεγάλη. Σε πολλούς όμως τομείς η Αρχαία Ελλάδα δεν ξεπεράστηκε. Η μεγαλοφυΐα των Βυζαντινών εκφράστηκε στην πράξη. Ως μηχανικοί άφησαν να εκδηλωθεί ελεύθερα το πρακτικό τους πνεύμα. Διατήρησαν και ανέπτυξαν το ρωμαϊκό σύστημα ύδρευσης και τους υπονόμους. Κατασκεύασαν πολλά και εξαιρετικά μηχανήματα. Τα αρχιτεκτονικά τους επιτεύγματα είναι σημαντικά κυρίως στην τελειότητα του θόλου. Στη χημεία η μεγάλη συμβολή τους ήταν το υγρό πυρ. Ασχολήθηκαν επίσης με την ιατρική. Εδώ ό,τι καλύτερο είχαν να επιδείξουν ήταν η οργάνωση των νοσοκομείων. Οι Βυζαντινοί ήταν πολύ περήφανοι για τις γνώσεις των μαθηματικών τους, παρόλο που και εδώ ισχύει ό,τι προαναφέρθη, σε σχέση με τους αρχαίους Έλληνες. Οι ίδιοι διηγούνται ιστορίες για να δείξουν ότι καταλάβαιναν καλύτερα τους γεωμετρικούς συλλογισμούς από τους Άραβες. Η λεηλασία του 1204 αναστάτωσε όλο το εκπαιδευτικό σύστημα της αυτοκρατορίας. Οι λόγιοι σκορπίστηκαν, οι σχολές τους εξαφανίστηκαν και τα βιβλία τους καταστράφηκαν από τις φλόγες των Λατίνων. «Στις 29 Μαΐου 1453 η τραγωδία ήταν τελική. Ένας πολιτισμός σαρώθηκε αμετάκλητα. Είχε αφήσει μια ένδοξη κληρονομιά στα γράμματα και στην τέχνη. Είχε βγάλει χώρες ολόκληρες από τη βαρβαρότητα και είχε δώσει σε άλλες την εκλέπτυνση των ηθών. Η δύναμή του και η ευφυΐα του προστάτεψαν πολλούς αιώνες την χριστιανοσύνη. Για έντεκα αιώνες η Κωνσταντινούπολη ήταν το κέντρο ενός κόσμου φωτός. Το ζωηρό πνεύμα, τα ενδιαφέροντα και η αγάπη για την ομορφιά των Ελλήνων, η υπερήφανη ισχύς και η διοικητική ικανότητα των Ρωμαίων, η υπερβατική ορμή των χριστιανών της Ανατολής, που είχαν ενωθεί μαζί σε ένα ρευστό ευπαθές σύνολο, όλα τώρα αποκοιμήθηκαν. Η Κωνσταντινούπολη έγινε η έδρα της θηριωδίας, της αμάθειας, της μεγαλόπρεπης ακαλαισθησίας. Μόνο στα ρωσικά παλάτια, που από πάνω τους φτερούγιζε ο δικέφαλος, το έμβλημα του οίκου των Παλαιολόγων, εμείνανε για λίγους ακόμα αιώνες μερικά ίχνη βυζαντινά, - μόνο εκεί, και σε κάτι σκοτεινές αίθουσες κοντά στον Κεράτιο κόλπο. Χωμένες ανάμεσα στα σπίτια του Φαναριού, όπου ο πατριάρχης διατηρούσε την άσημη αυλή του». (Από το έργο του Βρετανού ιστορικού Στήβεν Ράνσιμαν: Βυζαντινός Πολιτισμός).